Lớp 12

Toán 12 Ôn tập chương 3 Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng

Bài ôn tập chương Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức của toàn bộ các bài đã học thông qua các sơ đồ, cùng với đó là các bảng tra cứu nhanh nguyên hàm các hàm số quen thuộc,…sẽ giúp các em ghi nhớ bài học tốt hơn.

2.1. Sơ đồ chung các bài toán tích phân và ứng dụng

Bạn đang xem: Toán 12 Ôn tập chương 3 Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng

 

Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số

2.3. Các dạng nguyên hàm từng phần và cách chọn u, dv

Các dạng nguyên hàm từng phần và cách chọn u, dv

2.4. Các dạng nguyên hàm vô tỉ và các phép đổi biến số lượng giác hóa

Các dạng nguyên hàm vô tỉ và các phương pháp đổi biến số lượng giác hóa

Bài tập 1:

Tìm các nguyên hàm sau:

a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \,dx\).

b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x – \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\).

Lời giải:

a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \,dx\)

\(I = \int\limits {\left( {3{x^2} – 5x – 2} \right)} \,dx = {x^3} – \frac{{5{x^2}}}{2} – 2x + C.\)

b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x – \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\)

Đặt: \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\) 

Khi đó: \(J = \int\limits {\left( {5{t^2} – t + 2} \right)} \,dt = \frac{{5{t^3}}}{3} – \frac{{{t^2}}}{2} + 2t + C = \frac{5}{3}{\sin ^3}x – \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + 2\sin x + C.\)

Bài tập 2: 

Tính các tích phân sau:

a)  \(I=\int_{1}^{3}x(3x+2lnx)dx.\)

b)  \(I=\int_{1}^{2}\frac{x^2+ln^2x}{x}dx.\)

c) \(I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 – {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\)

Lời giải:

a) \(I=\int_{1}^{2}3x^2dx+\int_{1}^{2}2xlnxdx\)
Đặt \(I_1=\int_{1}^{2}3x^2dx; I_2=\int_{1}^{2}2xlnxdx\)
\(I_1=\int_{1}^{2}3x^2dx=x^3\bigg |^2_1=7.\)
\(I_2=\int_{1}^{2}lnxd(x^2)=(x^2lnx)\bigg|^2_1-\int_{1}^{2}xdx=4ln2- \frac{x^2}{2}\bigg|^2_1=4ln2-\frac{3}{2}.\)
Vậy \(I=I_1+I_2=4ln2-\frac{11}{2}.\)

b) Ta tách tích phân I như sau: \(I=\int_{1}^{2}\frac{x^2+ln^2x}{x}dx=\int_{1}^{2}xdx+\int_{1}^{2}\frac{ln^2x}{x}dx\)
\(I_1=\int_{1}^{2}xdx=\frac{x^2}{2}\bigg|^2_1=\frac{3}{2}\)
\(I_2=\int_{1}^{2}\frac{ln^2x}{x}dx\)
Đặt \(t=lnx\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx\)
Đổi cận: \(x=2\Rightarrow t=ln2;x=1\Rightarrow t=0\)
\(I_2=\int_{0}^{ln2}t^2dt=\frac{t^3}{3}\bigg |^{ln2}_0=\frac{ln^32}{3}\)
Vậy \(I=I_1+I_2=\frac{3}{2}+\frac{ln^32}{3}.\)

c) \(I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 – {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\)

Đặt \(x = \cos t,t \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dx = – \sin tdt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\)

Khi đó: 

\(\begin{array}{l} I = – \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^0 {\frac{{\sqrt {1 – {{\cos }^2}t} .\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left| {\sin t} \right|.\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}t}} – 1} \right)dt} = \left. {\left( {\tan t – t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = 1 – \frac{\pi }{4}. \end{array}\)

Bài tập 3: 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 + x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là: \(S=\int_{0}^{1}\left | x^2+x \right |dx\)
Với \(x\in [0;1]\Rightarrow S=\int_{0}^{1}(x^2+x)dx\)
Suy ra \(S=(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2})\bigg |^1_0=\frac{5}{6}.\)
Vậy \(S=\frac{5}{6}\).

Bài tập 4:

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{1}{{1 + \sqrt {4 – 3{\rm{x}}} }},y = 0,x = 0,x = 1\) quay quanh trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành.

Lời giải:

Thể tích cần tìm: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{{\left( {1 + \sqrt {4 – 3x} } \right)}^2}}}}\)

Đặt:\(t = \sqrt {4 – 3x} \Rightarrow dt = – \frac{3}{{2\sqrt {4 – 3x} }}dx \Leftrightarrow dx = – \frac{2}{3}tdt\left( {x = 0 \Rightarrow t = 2;x = 1 \Rightarrow t = 1} \right)\)

Khi đó: 

\(\begin{array}{l} V = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\frac{t}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}dt} = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{1 + t}} – \frac{1}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}} \right)dt} \\ = \left. {\frac{{2\pi }}{3}\left( {\ln \left| {1 + t} \right| + \frac{1}{{1 + t}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{\pi }{9}\left( {6\ln \frac{3}{2} – 1} \right). \end{array}\)

4. Luyện tập Bài 4 Chương 3 Toán 12

Bài ôn tập chương Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức của toàn bộ các bài đã học thông qua các sơ đồ, cùng với đó là các bảng tra cứu nhanh nguyên hàm các hàm số quen thuộc,…sẽ giúp các em ghi nhớ bài học tốt hơn.

4.1 Trắc nghiệm về Ôn tập Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Ôn tập chương 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

  • Câu 1:

    Hàm số nào sau đây không phải làm nguyên hàm của hàm số  \(f(x) = 2\sin 2x.\)

    • A.
      \(F(x) = 2{\sin ^2}x\)
    • B.
      \(F(x) = – 2{\cos ^2}x\)
    • C.
      \(F(x) = – 1 – \cos 2x\)
    • D.
      \(F(x) = – 1 – 2\cos x\sin x\)
  • Câu 2:

    Biết \(F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\) là nguyên hàm của hàm số \(y = \left( {2x + 3} \right).{e^x}.\) Tính tổng a + b.

    • A.
      a+b=2
    • B.
      a+b=3
    • C.
      a+b=4
    • D.
      a+b=5
  • Câu 3:

    Trong các tích phân sau, tích phân nào không có cùng giá trị với \(I = \int\limits_1^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} – 1} dx} .\)

    • A.
      \(\frac{1}{2}\int_1^2 {t\sqrt {t – 1} dt}\)
    • B.
      \(\frac{1}{2}\int_1^4 {t\sqrt {t – 1} dt}\)
    • C.
      \(\int_0^{\sqrt 3 } {\left( {{t^2} + 1} \right){t^2}dt}\)
    • D.
      \(\int_0^{\sqrt 3 } {\left( {{x^2} + 1} \right){x^2}dx}\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

4.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Ôn tập Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

5. Hỏi đáp về Bài 4 Chương 3 Toán 12

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán THPT Long Xuyên sẽ sớm trả lời cho các em. 

Đăng bởi: THPT Số 2 Tuy Phước

Chuyên mục: Giáo Dục Lớp 12

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!