Lớp 12

Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Nội dung bài học giới thiệu đến các em những phương pháp giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit như đưa về cùng cơ số, mũ hóa, lôgarit hóa, đặt ẩn phụ, vận dụng tính chất hàm số. Thông những ví dụ minh họa sẽ giúp các em bước đầu biết cách giải bất phương trình mũ và lôgarit. 

2.1. Bất phương trình mũ

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

  • Nếu \(a>1\):
    • \(a^x>a^y\Leftrightarrow x>y\)
    • ​\(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\)
  • Nếu \(0

\({a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\)

Bạn đang xem: Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

b) Phương pháp lôgarit hóa

  • Nếu \({a^{f(x)}} > b{\rm{  }}(1)\)

\((1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > {\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0
f(x)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

  • Nếu \({a^{f(x)}} > {b^{g(x)}}{\rm{ }}(2)\)

\((2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > g(x).{\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0
f(x)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

  • Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
    • \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c>0\)​: Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)
    • \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c>0\) trong đó \(m.n=1\): Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(a.t+b.\frac{1}{t}+c>0\)\(\Leftrightarrow at^2+ct+b>0\)
    •  \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{g(x)}>0\)

Chia cả 2 vế cho \(n^{2g(x)}\), ta có:

​\(a.\left [ \frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right ]^2+b.\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} +c>0\)

Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)

  • Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
    • Đưa về bất phương trình tích.
    • Xem ẩn ban đầu như là tham số.
  • Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo các cách sau:
    • Đưa về bất phương trình tích.
    • Xem 1 ẩn là tham số.

d) Phương pháp hàm số

  • Xét hàm số \(y=a^x\):
    • Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
    • Nếu \(0
  • Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.
  • Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.
  • Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu:
    • \(f(x)\)đồng biến trên D.
    • \(g(x)\) ​nghịch biến trên D.

⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.

2.2. Bất phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với \(a>1:\) \(\log_a \ f(x) >\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)>g(x)\\ g(x)>0 \end{matrix}\right.\)
Với \(0 {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x)
f(x) > 0
\end{array} \right.\)

b) Phương pháp mũ hóa

Xét bất phương trình: \(\log_a \ f(x)> b \ \ (1)\) với \(0

  • ​\(a>1, \ \ (1)\Leftrightarrow f(x)>a^b\)
  • ​\(0

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Các kiểu đặt ẩn phụ: 

  • Kiểu 1: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.
  • Kiểu 2: Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu.
    • Xem ẩn ban đầu là tham số
    • Bất phương trình tích
  • Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn

d) Phương pháp hàm số

Các nội dung cần nhớ:

  • Xét hàm số \(y = {\log _a}x\,(0
  • \(a>1, y =\log_a x\) đồng biến trên \((0;+\infty )\).
  • ​\(0
  • Xét hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x):\)
    • Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì \(f(x)+g(x)\) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.
    • Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến trên tập D và \(f(x).g(x)>0\) thì \(f(x).g(x)\) là hàm số đồng biến trên tập D.
    • Nếu \(f(x)\) đồng biến trên D, \(g(x)\) nghịch biến trên D:
      • \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.
      • \(f(x)-g(x)\) nghịch biến trên D.
  • 1. Bất phương trình mũ

    Ví dụ 1:

    Giải bất phương trình  \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x – 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 – 2} \right)^{ – {x^2} + 3}}.\)

    Lời giải:

    Ta có: \(\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 – 2} \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt 5 – 2 = \frac{1}{{\sqrt 5 + 2}} = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{ – 1}}\)

    Vậy: \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x – 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 – 2} \right)^{ – {x^2} + 3}}\) \(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x – 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{{x^2} – 3}} \Leftrightarrow x – 1 \ge {x^2} – 3\)

    \(\Leftrightarrow {x^2} – x – 2 \le 0 \Leftrightarrow – 1 \le x \le 2\)

    Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left[ { – 1;2} \right]\)

    Ví dụ 2:

    Giải bất phương trình \({2^{{x^2} – 4}} \ge {5^{x – 2}}.\)

    Lời giải: 

    Lấy logarit cơ số 2 hai vế của bất phương trình đã cho ta có: 

    \({\log _2}\left( {{2^{{x^2} – 4}}} \right) \ge {\log _2}\left( {{5^{x – 2}}} \right) \Leftrightarrow {x^2} – 4 \ge \left( {x – 2} \right){\log _2}5\)

    \(\Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {x + 2 – {{\log }_2}5} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x \le {\log _2}5 – 2 \end{array} \right.\)

    Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left( { – \infty ;{{\log }_2}5 – 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).\)

    Ví dụ 3:

    Giải bất phương trình \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} – {10.3^x} + 3 \le 0\).

    Lời giải:

    \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} – {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }}\) \(\Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} – {10.3^x} + 3 \le 0\)(1)

    Đặt \(t = {3^x} > 0\).

    Ta có: (1) \(\Leftrightarrow 3{t^2} – 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ – 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow – 1 \le x \le 1\)

    Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left[ { – 1;1} \right].\)

    Ví dụ 4: 

    Giải bất phương trình  \({3^x} + {4^x} > {5^x}.\)

    Lời giải:

    Chia 2 vế của phương trình cho ta được:

    \({3^x} + {4^x} > {5^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} > 1.\)

    Xét hàm số: \(f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x},\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)  

    \(f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{3}{5}} \right) + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{4}{5}} \right)

    Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên R.

    Mặt khác: \(f(2) = 1 \Rightarrow f(x) > 1 \Leftrightarrow x

    Vậy BPT có tập nghiệm là \(S = \left( { – \infty ;2} \right).\)

    2. Bất phương trình lôgarit

    Ví dụ 5:

    Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le 2 – {\log _2}5.\)

    Lời giải:

    \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le 2 – {\log _2}5 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4} + {\log _{\frac{1}{2}}}5\)

    \(\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{4}\)

    \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} – x – \frac{3}{4} \ge \frac{5}{4} \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le – 1\\ x \ge 2 \end{array} \right. \end{array}\)

    Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

    Ví dụ 6: 

    Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {1 – {{\log }_9}x} \right)

    Lời giải: 

    Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 1 – 2{\log _9}x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 > x > 0\)  

    Khi đó: \({\log _2}(1 – 2{\log _9}x) – \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\)

    Kết hợp với điều kiện ta được \(S = \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình.

    Ví dụ 7: 

    Giải bất phương trình \(\log _2^2x – 5{\log _2}x – 6 \le 0.\)

    Lời giải:

    Đặt \(t = {\log _2}x,\) khi đó phương trình trở thành:

    \(\begin{array}{l} {t^2} – 5t – 6 \le 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)(t – 6) \le 0\\ \Leftrightarrow – 1 \le t \le 6 \end{array}\)

    Do đó ta có:

    \(\begin{array}{l} – 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}\)

    Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right].\)

    Ví dụ 8:

    Giải bất phương trình  \(x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) > 3.\) 

    Lời giải:

    ĐK: \(x>1\)

    Xét hàm số \(f(x) = x + {\log _3}(x + 1)\) trên \(\left( { – 1; + \infty } \right).\) 

    Ta có \(f'(x) = 1 + \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}} > 0\) 

    \(\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\left( { – 1; + \infty } \right).\)   

    Mặt khác \(f(2) = 3\) 

    Do đó: \(f(x) > 3 \Rightarrow f(x) > f(2) \Rightarrow x > 2\)  

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( {2; + \infty } \right).\)

    4. Luyện tập Bài 6 Chương 2 Toán 12

    Nội dung bài học giới thiệu đến các em những phương pháp giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit như đưa về cùng cơ số, mũ hóa, lôgarit hóa, đặt ẩn phụ, vận dụng tính chất hàm số. Thông những ví dụ minh họa sẽ giúp các em bước đầu biết cách giải bất phương trình mũ và lôgarit. 

    4.1 Trắc nghiệm về Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

    Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 6 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

    • Câu 1:

      Giải bất phương trình \({9^x} – {\log _2}8

      • A.
        x>0
      • B.
        x
      • C.
        x>1
      • D.
        x
    • Câu 2:

      Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: \({2^{{x^2} – x + 1}} > {4^{x + 1}}.\)

      • A.
        \(S = \left( {\frac{{3 – \sqrt {13} }}{2};\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}} \right)\)
      • B.
        \(S = \left( { – \infty ;\frac{{3 – \sqrt {13} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}; + \infty } \right)\)
      • C.
        \(S = \left( { – \infty ; – \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)
      • D.
        \(S = \left( { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)
    • Câu 3:

      Giải bất phương trình \({5^{x + 2}} – {2^{x + 4}} > {5^{x + 1}} – {2^{x + 2}} + {2^{x + 3}}.\)

      • A.
        x>0
      • B.
        x
      • C.
        x>1
      • D.
        x

    Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

    4.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

    Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 6 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

    5. Hỏi đáp Bài 6 Chương 2 Toán 12

    Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán THPT Long Xuyên sẽ sớm trả lời cho các em. 

    Đăng bởi: THPT Số 2 Tuy Phước

    Chuyên mục: Giáo Dục Lớp 12

    Trả lời

    Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

    Back to top button

    Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

    Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!