Lớp 12

Toán 12 Bài 3: Lôgarit

Nội dung bài hạc sẽ giúp các em nắm được định nghĩa, các qui tắc tính lôgarit và công thức đổi cơ số. Thông qua các ví dụ minh họa các em sẽ biết vận dụng lôgarit để giải toán.

Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) với \(a\ne1\). Số \(\alpha\) thỏa mãn \(a^{\alpha}=b\) được gọi là lôgarit có số \(a\) của \(b\), kí hiệu \(\log_ab=\alpha\).

Bạn đang xem: Toán 12 Bài 3: Lôgarit

Vậy: \(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 0\\ {a^\alpha } = b \end{array} \right.\)

Ví dụ:

  • \(\log_2\sqrt{2}=\frac{1}{2}\) vì \(2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}\)
  • \(\log_2\frac{1}{8}=-3\) vì \(2^{-3}=\frac{1}{8}\)
  • \(\log_23=1\) vì \(3^1=3\)
  • \(\log_a1=0\) vì \(a^0=1\)
  • \(\log_23=x\) vì \(2^x=3\)

2.2. Các tính chất của lôgarit

a) Qui tắc tính lôgarit

Cho số thực \(a\) thỏa \(0

  • Với \(b>0\): \(a^{\log_ab}=b\)
  • Lôgarit của một tích:
    • Với \(x_1,x_2>0\): \(\log_a(x_1.x_2)=\log_ax_1+\log_ax_2\)
    • Mở rộng với \(x_1,x_2,…, x_n>0\): \(\log_a(x_1.x_2….x_n)=\log_ax_1+\log_ax_2+…+\log_ax_n\)
  • Lôgarit của một thương
    • Với \(x_1,x_2>0 :\ \log_a\frac{x_1}{x_2}=\log_ax_1-\log_ax_2\)
    • Với \(x> 0: \log_a\frac{1}{x}=-\log_ax\)
  • Lôgarit của một lũy thừa:
    • Với \(b>0:\) \(\log_ab^x=x\log_ab\)
    • \(\forall x\): \(\log_aa^x=x\)

b) Công thức đổi cơ số:

Cho số thực \(a\) thỏa \(0

  • Với \(00:\) \(\log_ab=\frac{\log_c \ b}{\log_c \ a}\)

Lấy \(0

  • Với \(\alpha \neq 0,b>0\): \(\log_{a^\alpha }b^\beta =\frac{\beta }{\alpha }\log_ab\)
  • Với \(\alpha \neq 0, b>0:\) \(\log_{a^\alpha }b=\frac{1}{\alpha }\log_ab\)

c) So sánh hai lôgarit cùng cơ số

  • Nếu \(a>1\) thì \(\log_ax>\log_ay \Leftrightarrow x>y>0\)
  • Nếu \(0\log_ay \Leftrightarrow 0
  • Nếu \(00\)

2.3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên

a) Lôgarit thập phân

Lôgarit cơ số 10 của số \(x>0\) được gọi là lôgarit thập phân của \(x\), kí hiệu là \(\log x\) hoặc \(\lg x\).

b) Lôgarit tự nhiên

Lôgarit cơ số \(e\) của số \(a>0\) được gọi là lôgarit tự nhiên (hay lôgarit Nê-pe) của số a, kí hiệu \(\ln a.\)

Ví dụ 1:

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \(A = {\log _9}15 + {\log _9}18 – {\log _9}10\)

b) \(B = {\log _{36}}2 – \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{6}}}3\)

c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right)\)

Lời giải:

a) \(A = {\log _9}15 + {\log _9}18 – {\log _9}10 = {\log _9}\frac{{15.18}}{{10}} = {\log _9}{3^3} = \frac{1}{2}{\log _3}{3^3} = \frac{3}{2}\)

b) \(B = {\log _{36}}2 – \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{6}}}3 = \frac{1}{2}{\log _6}2 + \frac{1}{2}{\log _6}3 = \frac{1}{2}{\log _6}2.3 = \frac{1}{2}\)

c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right) = – {\log _4}\left( {{{\log }_2}3.{{\log }_3}4} \right)\)

\(= – {\log _4}\left( {{{\log }_2}4} \right) = – \frac{1}{2}{\log _2}2 = – \frac{1}{2}\)

Ví dụ 2: 

Tính các giá trị biểu thức sau (Giả sử các biểu thức đều xác định):

a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}\)

b) \(B={\log _{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}\)

Lời giải:

a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a} = {\log _a}\left( {{a^{3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}}}} \right) = 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{{37}}{{10}}\)

b) \(B=lo{g_{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}} = – {\log _a}\left( {\frac{{{a^{1 + \frac{3}{5} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}}}}} \right) = – \left( {\frac{{34}}{{15}} – \frac{3}{4}} \right) = – \frac{{91}}{{60}}\)

Ví dụ 3:

a) Tính \(A= {\log _3}135\) biết \({\log _2}5 = a;{\log _2}3 = b\)

b) Tính \(B={\log _{49}}32\) biết \({\log _2}14 = a\)

Lời giải:

a) \(A = {\log _3}135 = {\log _3}{5.3^3} = {\log _3}5 + 3 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} + 3 = \frac{a}{b} + 3 = \frac{{a + 3b}}{b}\)

b) Ta có: \({\log _2}14 = a \Leftrightarrow 1 + {\log _2}7 = a \Rightarrow {\log _2}7 = a – 1\)

Vậy: \({\log _{49}}32 = \frac{{{{\log }_2}{2^5}}}{{{{\log }_2}{7^2}}} = \frac{5}{{2{{\log }_2}7}} = \frac{5}{{2\left( {a – 1} \right)}}\)

Ví dụ 4:

Không dùng máy tính, hãy so sánh:

a) \({\log _{0,4}}\sqrt 2 \; \vee \;{\log _{0,2}}0,34\)

b) \({\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\; \vee \;{\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5}\)

c) \({2^{{{\log }_5}3}}\; \vee \;{3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}}\)

Lời giải:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt 2 > 1 \Rightarrow {\log _{0,4}}\sqrt 2 {\log _{0,2}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,4}}\sqrt 2\)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{5}{3} > 1;0 {\log _{\frac{3}{4}}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\)

c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {\log _5}3 > {\log _5}1 \Rightarrow {2^{{{\log }_5}3}} > {2^{{{\log }_5}1}} = {2^0} = 1\\ {\log _5}\frac{1}{2} {\log _5}\frac{1}{2}\)

 

4. Luyện tập Bài 3 Chương 2 Toán 12

Nội dung bài hạc sẽ giúp các em nắm được định nghĩa, các qui tắc tính lôgarit và công thức đổi cơ số. Thông qua các ví dụ minh họa các em sẽ biết vận dụng lôgarit để giải toán.

4.1 Trắc nghiệm về lôgarit

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

  • Câu 1:

    Rút gọn biểu thức 

    \(A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}}\) với \(a > 0;\,\,a \ne 1\).

    • A.
      \(A = \frac{{62}}{5}\)
    • B.
      \(A = \frac{{16}}{5}\)
    • C.
      \(A = \frac{{22}}{5}\)
    • D.
      \(A = \frac{{67}}{5}\)
  • Câu 2:

    Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _a}a\sqrt[3]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}\) với \(0

    • A.
      \(P = \frac{3}{{10}}\)
    • B.
      \(P = 4\)​
    • C.
      \(P = \frac{1}{2}\)​
    • D.
      \(P = \frac{1}{4}\)​
  • Câu 3:

    Đặt  \(a = {\log _2}3,b = {\log _5}3\). Hãy biểu diễn \({\log _6}45\)  theo a và b.

    • A.
      \({\log _6}45 = \frac{{2{a^2} – 2ab}}{{ab}}\)
    • B.
      \({\log _6}45 = \frac{{2{a^2} – 2ab}}{{ab + b}}\)
    • C.
      \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\)
    • D.
      \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{2ab + b}}\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

4.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về lôgarit

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

5. Hỏi đáp Bài 3 Chương 2 Toán 12

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán THPT Long Xuyên sẽ sớm trả lời cho các em. 

Đăng bởi: THPT Số 2 Tuy Phước

Chuyên mục: Giáo Dục Lớp 12

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!