Toán 12 Bài 2: Tích phân

Khái niệm Tích phân được giới thiệu sau khái niệm nguyên hàm, là sự kế thừa và phát triển của bài học trước. Tương tự bài học Nguyên hàm, bài Tích phân sẽ giới thiệu đến các em khái niệm, các tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích tính phân là phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần được xây dựng trên nền tảng Nguyên hàm của một hàm số.

Cho hàm \(f(x)\) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ a đến b và ký hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} .\) Trong trường hợp \(a

Bạn đang xem: Toán 12 Bài 2: Tích phân

Cho các hàm số \(f(x),\,g(x)\) liên tục trên K và \(a,b,c\) là ba số thuộc K.

• \(\,\int\limits_a^a {f(x)dx = 0}\)
• \(\int\limits_a^b {f(x)dx = – \int\limits_b^a {f(x)dx} }\)
• \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} }\)
• \(\int\limits_a^b {k.f(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} }\)
• \(\int\limits_a^b {[f(x) \pm g(x)]dx = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} }\)

a) Phương pháp đổi biến số

Công thức đổi biến số \(\int\limits_a^b {f[u(x)]u'(x)dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} }.\) Trong đó \(f(x)\) là hàm số liên tục và \(u(x)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp \(f[u(x)]\) xác định trên J; \(a,\,b \in J.\)

• Các phương pháp đổi biến số thường gặp:
  • Cách 1: Đặt \(u = u(x)\) (\(u\) là một hàm theo \(x\)).
  • Cách 2: Đặt \(x=x(t)\) (\(x\) là một hàm theo \(t\)).

b) Phương pháp tích phân từng phần

Định lí:

Nếu \(u(x),\,v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và \(a,b\) là hai số thuộc K thì \(\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx} = \left. {u(x)v(x)} \right|_a^b – \int\limits_a^b {v(x)u'(x)dx}.\)

Áp dụng công thức tính tích phân cơ bản, tính các tích phân sau:

a)  \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} – 2x}}{{{x^3}}}dx}\)

b)  \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx}\)

Lời giải:

a) \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} – 2x}}{{{x^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} – \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{2}{x}} \right)} \right|_1^2\)

\(= \left( {\ln 2 + 1} \right) – \left( {\ln 1 + 2} \right) = – 1 + \ln 2\)

b) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2x)dx = } \left. {\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}sin2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi + 2}}{8}\)

 

Ví dụ 2:

Áp dụng phương pháp đổi biến số, tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}} dx\)

b) \(I = \int\limits_0^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} + 1} dx}\)

c) \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}}\)

Lời giải:

a) Đặt: \(t = \sqrt {1 + x} \Rightarrow {t^2} = 1 + x \Rightarrow 2tdt = dx\)

Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 3 \Rightarrow t = 2\)

\(\begin{array}{l} \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} – 1}}{{t + 1}}} } 2tdt = \int\limits_1^2 {2t(t – 1)dt} \\ = \left. {\left( {\frac{2}{3}{t^3} – {t^2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{3} \end{array}\)

b) Đặt: \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = {t^2} – 1}\\ {xdx = tdt} \end{array}} \right.\)

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)

Vậy: \(I = \int\limits_1^{\sqrt 5 } {\left( {{t^2} – 1} \right)t.tdt} = \left( {\frac{{{t^5}}}{5} – \frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 5 }\\ 1 \end{array} = \frac{2}{{15}} + \frac{{10\sqrt 5 }}{3}} \right.\)

c) Đặt \(x = 2\sin t\) với \(t \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dx = 2\cos tdt\)

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\)

Vậy: \(\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{\sqrt {4 – 4{{\sin }^2}t} }} = } } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{2\cos t}} = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt} = t\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\pi }{6}}\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{\pi }{6}\)

Ví dụ 3: 

Vận dụng phương pháp tính tích phân từng phân, tính các tích phân sau:

a) \(I = \int\limits_0^1 {x.{e^{2x}}dx}\)

b) \(I = \int\limits_1^2 {({x^2} – 1)\ln xdx}\)

Lời giải:

a) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = {e^{2x}}dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}} \end{array}} \right.\)

\(I = \left. {\frac{{x{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 – \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}}}}{2}dx} = \left. {\frac{{{e^2}}}{2} – \frac{{{e^{2x}}}}{4}} \right|_0^1 = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\).

b) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x}\\ {dv = \left( {{x^2} – 1} \right)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \frac{{dx}}{x}}\\ {v = \frac{{{x^3} – 3x}}{3}} \end{array}} \right.} \right.\)

\(I = \left. {\frac{{\left( {{x^3} – 3x} \right)\ln x}}{3}} \right|_1^2 – \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} – 3}}{3}} dx = \frac{{2\ln 2}}{3} – \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{9} – x} \right)} \right|_1^2\)\(= \frac{{2\ln 2}}{3} + \frac{2}{9}\).

Khái niệm Tích phân được giới thiệu sau khái niệm nguyên hàm, là sự kế thừa và phát triển của bài học trước. Tương tự bài học Nguyên hàm, bài Tích phân sẽ giới thiệu đến các em khái niệm, các tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích tính phân là phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần được xây dựng trên nền tảng Nguyên hàm của một hàm số.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:
  

  Cho \(\int\limits_0^2 {f(x)dx = 3.}\) 

  Tính \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {4f(x) – 3} \right]dx.}\)

  • A.
     I=2
  • B.
    I=-1
  • C.
    I=6
  • D.
    I=8

• Câu 2:
  

  Tính \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}\) biết \(\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = 5;\,\int\limits_b^d {f\left( x \right)} = 2\) với \(a

  • A.
    \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = -2\)
  • B.
     \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 7\)
  • C.
     \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 0\)
  • D.
     \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 3\)

• Câu 3:
  

  Tìm tập hợp giá trị của m sao cho \(\int\limits_0^m {\left( {2x – 4} \right)dx} = 5.\)

  • A.
    \(\left\{ 5 \right\}\)
  • B.
    \(\left\{ 5;-1 \right\}\)
  • C.
    \(\left\{ 4\right\}\)
  • D.
    \(\left\{ 4;-1 \right\}\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 3 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán THPT Long Xuyên sẽ sớm trả lời cho các em. 

Đăng bởi: THPT Số 2 Tuy Phước

Chuyên mục: Giáo Dục Lớp 12