Lớp 12

Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm thế nào là Hàm số đồng biến, nghịch biến, điều kiện để hàm số đơn điệu trên một miền. Cùng với những ví dụ minh họa các dạng toán liên quan đến Tính đơn điệu của hàm số sẽ giúp các em hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập ở dạng toán này.

Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Bạn đang xem: Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên K.

  • Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến (tăng) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1}
  • Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến (giảm) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} f({x_2})\).

2.2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

  • Nếu \(f(x)\) đồng biến trên K thì \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\).
  • Nếu \(f(x)\) nghịch biến trên K thì \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\).

2.3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

  • Nếu \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) đồng biến trên K.
  • Nếu \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) nghịch biến trên K.
  • Nếu \(f'(x)=0\) với mọi \(x\in K\) thì \(f(x)\) là hàm hằng trên K.

2.4. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số

  • Bước 1: Tìm tập xác định
  • Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)=0\). Tìm các điểm \(x_i\) (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
  • Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
  • Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

3.1. Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1:

Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 7\)

b) \(y=x^4-2x^2-1\)

c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)

Lời giải:

a) \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 7\)

  • Xét hàm số: \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 7\)
    • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
    • \(y’=3x^2-6x+3\)
    • \(y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
  • Bảng biến thiên:

  • Kết luận: Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

b) \(y=x^4-2x^2-1\)

  • Xét hàm số \(y=x^4-2x^2-1\)
    • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
    • \(y’=4x^3-4x\)
    • \(y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
  • Bảng biến thiên:

  • Kết luận:
    • Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
    • Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( {- \infty;-1 } \right)\) và \((0;1).\)

c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)

  • Xét hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\).
    • TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
    • \(y’ = \frac{{ – 2}}{{{{(x – 1)}^2}}} > 0,\forall \ne 1\)
  • Bảng biến thiên:

  • Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\) và \(\left( { 1;+ \infty } \right)\).

3.2. Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một miền

Ví dụ 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải:

  • Xét hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\)
    • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
    • \(y’ = 3{x^2} + 6x + m\)
  • Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y’ \ge 0,\forall x \in\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ‘ \le 0\\ a = 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 9 – 3m
  • Kết luận: với \(m\geq 3\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Ví dụ 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = 2x^3 – 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\) đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\).

Lời giải:

  • Xét hàm số \(y = 2x^3 – 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\).
    • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
    • \(y’ = 6{x^2} – 6(2m + 1)x + 6m(m + 1)\)
    • \(\Delta = {(2m + 1)^2} – 4({m^2} + m) = 1 > 0\)
    • \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = m\\ x = m + 1 \end{array} \right.\) 
  • Do \(m

  • Hàm số đồng biến trong các khoảng \(( – \infty ;m),\,\,(m + 1; + \infty )\).
  • Kết luận: Do đó hàm số đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\) khi \(m + 1 \le 2 \Leftrightarrow m \le 1.\)

4. Luyện tập Bài 1 Toán 12

Trong phạm vi bài học THPT Long Xuyên chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về tính đơn điệu của hàm số. Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi khảo sát hàm số mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức,….các em cần tìm hiểu thêm.

4.1 Trắc nghiệm về tính đơn điệu hàm số

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

  • Câu 1:

    Cho hàm số \(y = {x^2}(3 – x).\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    • A.
      Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-\infty ;0)\)

       

    • B.
      Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\)
    • C.
      Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  \((-\infty;3)\) 
    • D.
      Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((0;2)\)
  • Câu 2:

    Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} – 1} .\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    • A.
      Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\)
    • B.
      Hàm số đồng biến trên  \((-\infty ;+\infty )\)
    • C.
       Hàm số đồng biến trên khoảng \((1 ;+\infty )\)
    • D.
       Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty ;0)\)
  • Câu 3:

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} – m{x^2} + 3x + 4\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

    • A.
      \(- 2 \le m \le 2\)
    • B.
      \(- 3 \le m \le 3\)
    • C.
      \(m \ge 3\) 
    • D.
      \(m \le – 3\)

Câu 4 – 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

4.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về hàm số

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

5. Hỏi đáp về tính đơn điệu hàm số

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán THPT Long Xuyên sẽ sớm trả lời cho các em. 

Đăng bởi: THPT Số 2 Tuy Phước

Chuyên mục: Giáo Dục Lớp 12

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!