Lớp 12

Toán 12 Bài 1: Lũy thừa

Lũy thừa là một khái niệm quen thuộc đã được học từ lớp 7, đến chương trình giải tích 12 khái niệm lũy thừa được mở rộng và học sinh được tìm hiểu sâu hơn. Nội dung bài học cung cấp đến các em những vấn đề lý thuyết trọng tâm cũng như phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em học tập tốt phần này.

a) Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho \(n\) là một số nguyên dương.

Bạn đang xem: Toán 12 Bài 1: Lũy thừa

  • Với \(a\) là số thực tùy ý, lũy thừa bậc \(n\) của \(a\) là tích của \(n\) thừa số \(a\): \({a^n} = \underbrace {a.a……a}_n\)
  • Với \(a\ne0\): 
    • ​\(a^0=1\)
    • ​\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

Trong biểu thức \(a^m\), ta gọi \(a\) là cơ số, số nguyên \(m\) là số mũ.

  • Chú ý: 
    • \(0^0\) và \(0^n\) không có nghĩa.
    • Lũy thừa với số mũ nguyên có các tihs chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho \(a\) là số thực dương và số hữu tỉ \(r=\frac{m}{n}\) trong đó \(m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N},n\geq 2.\) Lũy thừa với số mũ \(r\) là số \(a^r\) xác đinh bởi: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).

c) Lũy thừa với số mũ thực

Cho \(a\) là một số dương, \(\alpha\) là một số vô tỉ:

Ta gọi giới hạn của dãy số \(\left( {{a^{{r_n}}}} \right)\) là lũy thừa của \(a\) với số mũ \(\alpha\), kí hiệu là \(a^{\alpha}.\)

\({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}\) với \(a = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n}\).

2.2. Các tính chất quan trọng của lũy thừa

Với số thực \(a>0\) ta có các tính chất sau:

  • \(a^x.a^y=a^{x+y} \ \ \ x, y\in \mathbb{R}\)
  • \(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} \ \ \ x, y \in \mathbb{R}\)
  • \((a^x)^y=a^{xy} \ \ \ x,y\in R\)
  • \(\sqrt[x]{a^y}=a^{\frac{y}{x}} \ \ \ x\in N, x\geq 2, y\in R\)
  • \((a.b)^x=a^x.b^x\)
  • \(\left ( \frac{a}{b} \right )^y=\frac{a^y}{b^y}\)

2.3. So sánh hai lũy thừa

Cho số thực \(a\):

  • Nếu \(a>1\) thì \(a^x > a^y\Leftrightarrow x>y\).
  • Nếu \(0 a^y\Leftrightarrow x

Ví dụ 1: 

Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{{a^{ – n}} + {b^{ – n}}}}{{{a^{ – n}} – {b^{ – n}}}} – \frac{{{a^{ – n}} – {b^{ – n}}}}{{{a^{ – n}} + {b^{ – n}}}}\left( {ab \ne 0;a \ne \pm b} \right)\)

Lời giải:

\(A = \frac{{{a^{ – n}} + {b^{ – n}}}}{{{a^{ – n}} – {b^{ – n}}}} – \frac{{{a^{ – n}} – {b^{ – n}}}}{{{a^{ – n}} + {b^{ – n}}}} = \frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{b^n} – {a^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}} – \frac{{{b^n} – {a^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}}\)

\(= \frac{{{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)}^2} – {{\left( {{b^n} – {a^n}} \right)}^2}}}{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)\left( {{b^n} – {a^n}} \right)}} = \frac{{4{a^n}{b^n}}}{{{b^{2n}} – {a^{2n}}}}\)

Ví dụ 2: 

Cho a,b là các số thực dương .Rút gọn biểu thức sau:

a) \(\left( {1 – 2\sqrt {\frac{a}{b}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}\)

b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{5}{4}}}}} – \frac{{{b^{ – \frac{1}{2}}} – {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ – \frac{1}{2}}}}}\)

Lời giải:

a) \(\left( {1 – 2\sqrt {\frac{a}{b}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = {\left( {1 – \sqrt {\frac{a}{b}} } \right)^2}:\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)\)

\(= \frac{{{{\left( {\sqrt b – \sqrt a } \right)}^2}}}{b}.\frac{1}{{{{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2}}} = \frac{1}{b}\)

b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{5}{4}}}}} – \frac{{{b^{ – \frac{1}{2}}} – {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ – \frac{1}{2}}}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 – {a^2}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 – a} \right)}} – \frac{{{b^{ – \frac{1}{2}}}\left( {1 – {b^2}} \right)}}{{{b^{ – \frac{1}{2}}}\left( {{b^2} – 1} \right)}} = 1 + a + 1 = a + 2\)

Ví dụ 3: 

Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau:

a) \(A = \sqrt[5]{{2\sqrt[3]{{2\sqrt 2 }}}}\)

b) \(B = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\quad \left( {a > 0} \right)\)

Lời giải:

a) \(A = \sqrt[5]{{2\sqrt[3]{{2\sqrt 2 }}}} = \left\{ {{{\left[ {{{\left( {{2^{\frac{1}{2}}}.2} \right)}^{\frac{1}{3}}}.2} \right]}^{\frac{1}{5}}}} \right\}\)

\(= {\left[ {{{\left( {{2^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}.2} \right]^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{2^{\frac{1}{2}}}.2} \right)^{\frac{1}{5}}} = {2^{\frac{3}{2}\frac{1}{5}}} = {2^{\frac{3}{{10}}}}\)

b) \(B = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = {\left\{ {{{\left[ {{{\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}a} \right]}^{\frac{1}{2}}}.a} \right\}^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\)

\(= {\left[ {{{\left( {{a^{\frac{3}{4} + 1}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}.a} \right]^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {\left( {{a^{\frac{7}{8} + 1}}} \right)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = \frac{{{a^{\frac{{15}}{{16}}}}}}{{{a^{\frac{{11}}{{16}}}}}} = {a^{\frac{1}{4}}}\)

Ví dụ 4:

Cho a là số thực dương, đơn giản các biểu thức sau:

a) \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 – 1}}\)

b) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} – {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\)

Lời giải:

a) \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 – 1}} = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {{a^{ – 1}}} \right)^{\sqrt 2 – 1}} = {a^{\sqrt 2 }}{a^{1 – \sqrt 2 }} = a\)

b) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} – {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 = \frac{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)\left( {{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\)

\(= \frac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }} + {a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}}}{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}} = \frac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}}}\)

Ví dụ 5:

Không dùng máy tính bỏ túi, hãy so sánh các cặp số sau:

a) \(\sqrt[4]{{13}}\; \vee \;\sqrt[5]{{23}}\)

b) \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }}\; \vee \;{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 2 }}\)

Lời giải:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt[4]{{13}} = \sqrt[{20}]{{{{13}^5}}} = \sqrt[{20}]{{371.293}}\\ \sqrt[5]{{23}} = \sqrt[{20}]{{{{23}^4}}} = \sqrt[{20}]{{279.841}} \end{array} \right. \Rightarrow \sqrt[4]{{13}} > \sqrt[5]{{23}}\)

b) Ta có: \(\sqrt 3 > \sqrt 2 \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }}

4. Luyện tập Bài 1 Chương 2 Toán 12

Trong phạm vi bài học THPT Long Xuyên chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về lũy thừa, tính chất cơ bản của lũy thừa. Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi hàm số mũ mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức,….các em cần tìm hiểu thêm.

4.1 Trắc nghiệm về lũy thừa

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

  • Câu 1:

    Biểu diễn biểu thức \(K = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

     

    • A.
      \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{5}{{18}}}}\)
    • B.
      \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{2}}}}\)
    • C.
      \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{8}}}}\)
    • D.
      \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{6}}}}\)
  • Câu 2:

    Giả sử a là số thực dương, khác 1. Biểu thức \(\sqrt {a\sqrt[3]{a}}\) được viết dưới dạng \({a^\alpha }\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

    • A.
      \(\alpha = \frac{2}{3}\)
    • B.
      \(\alpha = \frac{11}{6}\)
    • C.
      \(\alpha = \frac{1}{6}\)
    • D.
      \(\alpha = \frac{5}{3}\)
  • Câu 3:

    Cho biểu thức \(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{ – \frac{1}{3}}} – {a^{ – \frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    • A.
      \(P = \frac{1}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\).
    • B.
      \(P = \sqrt[3]{{ab}}\).
    • C.
      \(P = {\left( {ab} \right)^{\frac{2}{3}}}\). 
    • D.
      \(P =  – \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {ab} \right)}^2}}}}}\).

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

4.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về lũy thừa

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

5. Hỏi đáp về Bài 1 Chương 2 Toán 12

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán THPT Long Xuyên sẽ sớm trả lời cho các em. 

Đăng bởi: THPT Số 2 Tuy Phước

Chuyên mục: Giáo Dục Lớp 12

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!