Lớp 11

Toán 11 Bài 4: Vi phân

Vi phân là một khái niệm mới được xây dựng trên nền tảng đạo hàm. Yêu cầu của học này các em chỉ cần nắm được khái niệm và biết tính vi phân của một hàm số. Đây là dạng toán nền tảng để các em làm các bài toán nguyên hàm, tích phân trong chương trình Giải tích 12. Bài giảng còn cung cấp những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng giải các bài toán liên quan đến vi phân.

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\)

Bạn đang xem: Toán 11 Bài 4: Vi phân

Giả sử \(\Delta x\) là số gia của x sao cho \(x + \Delta x \in (a;b).\)

Vi phân của hàm số \(y=f(x)\) tại x là \(dy = df(x) = f'(x)dx.\)

1.2. Ứng dụng vào phép tính gần đúng

\(f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0})\Delta x.\)

1.3. Các dạng toán

a) Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số y=f(x)

Phương pháp:

  • Tính đạo hàm f'(x).
  • Vi phân của hàm số y=f(x) tại x là \(df(x) = f'(x)dx.\)
  • Vi phân của hàm số y=f(x) tại \(x_0\) là \(df(x_0) = f'(x_0)dx.\)

b) Dạng 2: Tìm giá trị gần đúng của một biểu thức

Phương pháp:

  • Lập hàm số \(y=f(x)\) và chọn \(x_0, \Delta x\) một cách thích hợp.
  • Tính đạo hàm \(f'(x), f'(x_0)\) và \(f(x_0).\)
  • Giá trị gần đúng của biểu thức \(P = f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0})\Delta x.\)

Ví dụ 1:

Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) \(f(x) = \sin x – x\cos x\).

b) \(f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}\).

c) \(f(x) = x{\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) tại \(x=\frac{\pi}{2}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(f'(x) = cosx – (cosx – xsinx) = xsinx\) nên \(df(x) = x\sin xdx.\)

b) \(f'(x) = – \frac{3}{{{x^4}}}\) nên \(df(x) = – \frac{3}{{{x^4}}}dx.\)

c) \(f'(x) = cosx – x\sin x \Rightarrow f’\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = – \frac{\pi }{2}\) nên \(df\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = – \frac{\pi }{2}dx.\)

Ví dụ 2: 

Tính gần đúng các giá trị sau:

a) \(\sqrt {4,01}\).

b) \(\sin {29^0}\).

Hướng dẫn giải:

a) Đặt \(f(x) = \sqrt x .\)

Chọn \(x_0=4\) và \(\Delta x=0,01\) thì \(4,01=4+0,01=x_0+\Delta x.\)

\(f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt x}\Rightarrow f'(4)=\frac{1}{2 \sqrt 4}=\frac{1}{4}.\)

\(f(4)=2.\)

Vậy: \(\sqrt {4,01} = f(4 + 0,01) \approx f(4) + f'(4).0,01 = 2,0025.\)

b) Đặt \(f(x)=sin x,\) chọn \(x_0=30^0\) và \(\Delta x=-1^0=-\frac{-\pi}{180}.\)

Ta có: \(29^0=30^0-1^0=x_0+\Delta x.\)

\(f'(x)=cos x,f'(30^0)=cos (30^0)=\frac{\sqrt 3}{2};f(30^0)=sin 30^0=\frac{1}{2}.\)

Vậy: \(sin 29^0 = f(30^0-1^0) \approx f(30^0)+f'(30^0).\left (- \frac{\pi}{180} \right )\approx 0,4849.\)

3. Luyện tập Bài 4 chương 5 giải tích 11

Trong phạm vi bài học đã giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Vi phânYêu cầu của học này các em chỉ cần nắm được khái niệm và biết tính vi phân của một hàm số. Đây là dạng toán nền tảng để các em làm các bài toán nguyên hàm, tích phân trong chương trình Giải tích 12

3.1 Trắc nghiệm về Vi phân

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

  • Câu 1:

    Tìm vi phân của hàm số y = xsinx+cosx

    • A.
      dy= xcosxdx
    • B.
      dy= xcosx
    • C.
      dy= (2sinx + xcosx)dx
    • D.
      dy= (sinx+cosx)dx
  • Câu 2:

    Tìm vi phân của hàm số \(y = {\tan ^2}\sqrt {{x^2} + 1} \)

    • A.
      \(dy = \frac{{2\tan \sqrt {{x^2} + 1} }}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}dx\)
    • B.
      \(dy = \frac{{2x\tan \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} {{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}dx\)
    • C.
      \(dy = \frac{{2x\tan \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} {\rm{.co}}{{\rm{s}}^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}dx\)
    • D.
      \(dy = \frac{{2\tan \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} {\rm{.co}}{{\rm{s}}^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}dx\)
  • Câu 3:

    Tìm vi phân của hàm số y= cos3(1-x)

    • A.
      dy=- sin2(1-x)dx
    • B.
      dy= 3cos2(1-x).sin⁡(1-x)dx
    • C.
       dy=- 3cos2(1-x)sin⁡(1-x)dx
    • D.
      dy=3 cos2(1-x)dx

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Vi phân 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

4. Hỏi đáp về bài 4 chương 5 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán THPT Long Xuyên sẽ sớm trả lời cho các em. 

Đăng bởi: THPT Số 2 Tuy Phước

Chuyên mục: Giáo Dục Lớp 11

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!