Lớp 11

Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số có tính chất đặc biệt. Bài giảng này sẽ cung cấp cho các em khái niệm cấp số nhân và các dạng toán liên quan, cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung phần này.

Dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n}.q}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\)  gọi là cấp số nhân; \(q\) gọi là công bội.

Bạn đang xem: Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

1.2. Các tính chất

\( \bullet \)  Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1}{q^{n – 1}}\).

\( \bullet \) Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi \(u_{k + 1}^2 = {u_k}.{u_{k + 2}}\).

\( \bullet \) Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :

\({S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = {u_1}\frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}\)

Vấn đề 1: Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số nhân

Phương pháp:

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân \( \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q\) không phụ thuộc vào n và \(q\) là công bội.

\( \bullet \) Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân \( \Leftrightarrow ac = {b^2}\).

\( \bullet \) Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(q\).

Ví dụ 1:

Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm \({u_1}\) biết:

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15}\\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}\end{array}} \right.\)          

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11}\\{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\frac{{{q^4} – 1}}{{q – 1}} = 15\\u_1^2\frac{{{q^8} – 1}}{{{q^2} – 1}} = 85\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} – 1}}{{q – 1}}} \right)^2}\left( {\frac{{{q^2} – 1}}{{{q^8} – 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \frac{{({q^4} – 1)(q + 1)}}{{(q – 1)({q^4} + 1)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Từ đó ta tìm được \({u_1} = 1,{u_1} = 8\).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4}} \right) = 11\\{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q(1 + q + {q^2}) = \frac{{39}}{{11}}\\{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{{q^4} + 1}}{{{q^3} + {q^2} + q}} = \frac{{82}}{{39}} \Leftrightarrow q = 3,q = \frac{1}{3}\).

 

Ví dụ 2:

Cho cấp số nhân \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = \frac{2}{{27}}\\{u_3} = 243{u_8}\end{array} \right.\).

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số.

c) Số \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số?

Hướng dẫn:

Gọi \(q\) là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 243.{u_1}{q^7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{q^5} = \frac{1}{{243}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\{u_1} = 2\end{array} \right.\)

a) Năm số hạng đầu của cấp số là:\({u_1} = 2,{u_2} = \frac{2}{3},{u_3} = \frac{2}{9};{u_4} = \frac{2}{{27}},{u_5} = \frac{2}{{81}}\).

b) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số

\({S_{10}} = {u_1}\frac{{{q^{10}} – 1}}{{q – 1}} = 2.\frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}} – 1}}{{\frac{1}{3} – 1}} = 3\left[ {1 – {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right] = \frac{{59048}}{{19683}}\).

c) Ta có: \({u_n} = \frac{2}{{{3^{n – 1}}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{6561}} \Leftrightarrow {3^{n – 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9\)

Vậy \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số.

 

Vấn đề 3: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân

Phương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSN \( \Leftrightarrow ac = {b^2}\).

 

Ví dụ 1: Tìm \(x\) biết \(1,{x^2},6 – {x^2}\) lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn:

Ta có: \(1,{x^2},6 – {x^2}\) lập thành cấp số nhân  \( \Leftrightarrow {x^4} = 6 – {x^2} \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 .\)

 

Ví dụ 2: 

Tìm \(x,y\) biết:

a) Các số \(x + 5y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng  và  các số

\({\left( {y – 1} \right)^2},xy – 1,{\left( {x + 1} \right)^2}\) lập thành cấp số nhân.

b) Các số \(x + 6y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng và các số \(x + \frac{5}{3}y,y – 1,2x – 3y\) lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn:

a) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 5y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\{(x + 1)^2}{(y – 1)^2} = {(xy – 1)^2}\end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được

\((x;y) = \left( { – \sqrt 3 ; – \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right);\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

b) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 6y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\(x + \frac{5}{3}y)(2x – 3y) = {(y – 1)^2}\end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được

\((x;y) = \left( { – 3; – 1} \right);\left( {\frac{3}{8};\frac{1}{8}} \right)\).

3. Luyện tập Bài 4 chương 3 giải tích 11

Cấp số nhân là một dãy số có tính chất đặc biệt. Bài giảng này sẽ cung cấp cho các em khái niệm cấp số nhân và các dạng toán liên quan, cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung phần này. 

3.1 Trắc nghiệm về cấp số nhân

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

  • Câu 1:

    Dãy số \({u_n} = {4.3^n}\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?

    • A.
      \(q = 3\)
    • B.
      \(q = 2\)
    • C.
      \(q = 4\)    
    • D.
      \(q = \emptyset \)   
  • Câu 2:

    Dãy số \({u_n} = 3n – 1\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?

    • A.
      \(q = 3\)
    • B.
      \(q = 2\)
    • C.
      \(q = 4\)
    • D.
      \(q = \emptyset \)
  • Câu 3:

    Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó.   

    • A.
      \({u_1} = \frac{2}{9};{u_2} = \frac{2}{5};{u_3} = 2;{u_5} = 18;{u_6} = 54;{u_7} = 162\)
    • B.
      \({u_1} = \frac{2}{7};{u_2} = \frac{2}{3};{u_3} = 2;{u_5} = 18;{u_6} = 54;{u_7} = 162\)
    • C.
      \({u_1} = \frac{2}{9};{u_2} = \frac{2}{3};{u_3} = 2;{u_5} = 21;{u_6} = 54;{u_7} = 162\)
    • D.
      \({u_1} = \frac{2}{9};{u_2} = \frac{2}{3};{u_3} = 2;{u_5} = 18;{u_6} = 54;{u_7} = 162\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về cấp số nhân

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

4. Hỏi đáp về bài 4 chương 3 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán THPT Long Xuyên sẽ sớm trả lời cho các em. 

Đăng bởi: THPT Số 2 Tuy Phước

Chuyên mục: Giáo Dục Lớp 11

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!