Lớp 11

Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Ở bài 2, các em đã được học quy tắc tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp. Bài 3 Đạo hàm của hàm số lượng giác sẽ tiếp tục giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cot. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm của các hàm số lượng giác.

Hàm số \(y=sin x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\sin x} \right)’ = \cos x.\)

Bạn đang xem: Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Nếu \(y=sin u\) và \(u=u(x)\) thì \((sin u)’=u’. \cos u.\)

1.2. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Hàm số \(y=\cos x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cos x} \right)’ =-\sin x.\)

Nếu \(y=\cos u\) và \(u=u(x)\) thì \((cos u)’=-u’. \sin u.\)

1.3. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Hàm số \(y=\tan x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\tan x} \right)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\)

Nếu \(y=tan u\) và \(u=u(x)\) thì \(\left( {\tan u} \right)’ = \frac{{u’}}{{{{\cos }^2}u}}.\)

1.4. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Hàm số \(y=\cot x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cot x} \right)’ = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\)

Nếu \(y=\cot u\) và \(u=u(x)\) thì \(\left( {\cot x} \right)’ = – \frac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}}\).

Ví dụ 1: 

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right).\)

b) \(y = \sin \sqrt {x + 10} .\)

c) \(y = \sin \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right).\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)\)\(\Rightarrow y’ = \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)’.\cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)\)\(= – \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right).\)

b) \(y = \sin \sqrt {x + 10}\)\(\Rightarrow y’ = \left( {\sqrt {x + 10} } \right)’.\cos \sqrt {x + 10}\)\(= \frac{1}{{2\sqrt {x + 10} }}.\cos \sqrt {x + 10} .\)

c) \(y = \sin \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right)\)\(\Rightarrow y’ = \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right)’.\cos \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right)\)\(= \frac{{ – 1}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}.\cos \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right).\)

Ví dụ 2:

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \cos \left( {{x^3} – x} \right).\)

b) \(y = \cos \sqrt {{x^2} – 8} .\)

c) \(y = \cos \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right).\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \cos \left( {{x^3} – x} \right)\)\(\Rightarrow y’ = – \left( {{x^3} – x} \right)’.\sin \left( {{x^3} – x} \right)\)\(= – \left( {3{x^3} – 1} \right).\sin \left( {{x^3} – x} \right).\)

b) \(y = \cos \sqrt {{x^2} – 8}\)\(\Rightarrow y’ = – \left( {\sqrt {{x^2} – 8} } \right)’.\sin \sqrt {x + 10}\)\(= \frac{x}{{\sqrt {{x^2} – 8} }}.\sin \sqrt {{x^2} – 8} .\)

c) \(y = \cos \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right)\)\(\Rightarrow y’ = \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right)’.\sin \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right)\)\(= \frac{4}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.\sin \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right).\)

Ví dụ 3: 

Tính đạo hàm của các hàm số sau: 

a) \(y = \tan \left( {{x^5} – 5x} \right)\).

b) \(y = \tan \sqrt {{x^4} + 1}\).

Hướng dẫn giải: 

a) \(y = \tan \left( {{x^5} – 5x} \right)\) \(\Rightarrow y’ = \frac{{({x^5} – 5x)’}}{{{{\cos }^2}\left( {{x^5} – 5x} \right)}} = \frac{{5{x^4} – 5}}{{{{\cos }^2}\left( {{x^5} – 5x} \right)}}\).

b) \(y = \tan \sqrt {{x^4} + 1}\)\(\Rightarrow y’ = \frac{{\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}} = \frac{{2{x^3}}}{{\sqrt {{x^4} + 1} .{{\cos }^2}\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}}\).

Ví dụ 4: 

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \cot \left( {7{x^3} – 6x} \right)\).

b) \(y = {\cot ^4}\left( {5x + 1} \right)\).

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \cot \left( {7{x^3} – 6x} \right)\) \(\Rightarrow y’ = \frac{{(7{x^3} – 6x)’}}{{{{\sin }^2}\left( {7{x^3} – 6x} \right)}} = – \frac{{21{x^2} – 6}}{{{{\sin }^2}\left( {7{x^3} – 6x} \right)}}\).

b) \(y = {\cot ^4}\left( {5x + 1} \right)\)\(\Rightarrow y’ = 4{\cot ^3}\left( {5x + 1} \right).\left[ {\cot \left( {5x + 1} \right)} \right]’\)

\(= 4{\cot ^3}\left( {5x + 1} \right).\left( {\frac{{ – 5}}{{{{\sin }^2}\left( {5x + 1} \right)}}} \right)\)\(= \frac{{ – 20{{\cot }^3}\left( {5x + 1} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {5x + 1} \right)}}\).

3. Luyện tập Bài 3 chương 5 giải tích 11

Bài 3 Đạo hàm của hàm số lượng giác sẽ tiếp tục giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cot. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm của các hàm số lượng giác.

3.1 Trắc nghiệm về Đạo hàm của hàm số lượng giác

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

  • Câu 1:

     Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x – \cos x}}\) bằng biểu thức nào sau đây?

    • A.
      \(\frac{{\cos x + \sin x}}{{\sin x – \cos x}}\)
    • B.
      \(\frac{{ – 1}}{{{{\cos }^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}\)
    • C.
      \(\frac{{ 1}}{{{{\cos }^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}\)
    • D.
      \( – \frac{{2\sin x}}{{{{\left( {\sin x – \cos x} \right)}^2}}}\)
  • Câu 2:

    Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {{{\sin }^3}\left( {2x + 1} \right)} \) bằng biểu thức nào sau đây?

    • A.
      \(\frac{{3{{\sin }^2}\left( {2x + 1} \right)}}{{2\sqrt {{{\sin }^3}\left( {2x + 1} \right)} }}\)
    • B.
      \(3\sqrt {\sin \left( {2x + 1} \right)} .c{\rm{os}}\left( {2x + 1} \right)\)
    • C.
      \(\frac{{3{{\sin }^2}2\left( {2x + 1} \right)}}{{2\sqrt {{{\sin }^3}\left( {2x + 1} \right)} }}\)
    • D.
      \(3\sqrt {\sin \left( {2x + 1} \right)} \)
  • Câu 3:

     Đạo hàm của hàm số \(y = {\cos ^5}\frac{{x + 1}}{{x – 2}}\) bằng biểu thức nào sau đây?

    • A.
      \(\frac{{15}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}{\cos ^4}\frac{{x + 1}}{{x – 2}}\sin \frac{{x + 1}}{{x – 2}}\)
    • B.
      \(- 5{\cos ^4}\frac{{x + 1}}{{x – 2}}\sin \frac{{x + 1}}{{x – 2}}\)
    • C.
      \( 5{\cos ^4}\frac{{x + 1}}{{x – 2}}\sin \frac{{x + 1}}{{x – 2}}\)
    • D.
      \(\frac{{-15}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}{\cos ^4}\frac{{x + 1}}{{x – 2}}\sin \frac{{x + 1}}{{x – 2}}\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

4. Hỏi đáp về bài 3 chương 5 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán THPT Long Xuyên sẽ sớm trả lời cho các em. 

Đăng bởi: THPT Số 2 Tuy Phước

Chuyên mục: Giáo Dục Lớp 11

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!