Lớp 11

Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Ở bài 1, các em đã được tìm hiều về khái niệm đạo hàm và phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa. Khuyết điểm của phương pháp này là rất khó áp dụng với các hàm số phức tạp, và phải trải qua nhiều công đoạn tính toán. Bài 2 Quy tắc tính đạo hàm sẽ giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp và hàm hợp của chúng, các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm.

Định lý 1: Hàm số \(y = {x^n}(n \in \mathbb{N},n > 1\)) có đạo hàm với mọi \(x \in\mathbb{R}\) và: \({\left( {{x^n}} \right)’} = n{x^{n – 1}}.\)

Bạn đang xem: Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Nhận xét: 

  • (c)’=0 (với c là hằng số).
  • (x)’=1.

Định lý 2: Hàm số \(y= \sqrt x\) có đạo hàm với mọi x dương và: \(\left( {\sqrt x } \right)’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)

1.2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Định lý 3: Giả sử \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

  • \({\left( {u + v} \right)’} = {u’} + {v’}\)
  • \({\left( {u – v} \right)’} = {u’} – {v’}\)
  • \({\left( {u.v} \right)’} = {u’}.v + u.{v’}\)
  • \(\left ( \frac{u}{v} \right )’=\frac{u’v-uv’}{v^2},(v(x) \ne 0)\)

Mở rộng:

  • \(({u_1} + {u_2} + … + {u_n})’ = {u_1}’ + {u_2}’ + … + {u_n}’.\)

Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: \((ku)’=ku’.\)

Hệ quả 2: \({\left( {\frac{1}{v}} \right)’} = – \frac{{ – v’}}{{{v^2}}}\) , \((v(x)\ne 0)\)

 

  • \((u.v.{\rm{w}})’ = u’.v.{\rm{w}} + u.v’.{\rm{w}} + u.v.{\rm{w}}’\)

1.3. Đạo hàm với hàm hợp

Định lý: Cho hàm số \(y=f(u)\) với \(u=u(x)\) thì ta có: \(y’_u=y’_u.u’_x.\)

Hệ quả:

  • \(({u^n}) = n.{u^{n – 1}}.u’,n \in \mathbb{N}^*.\)
  • \(\left( {\sqrt u } \right)’ = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}.\)

Ví dụ 1: 

a) Cho hàm số f(x)=x6. Tính f'(x) và f'(1).

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt x\) tại x=9.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(f'(x) = 6{x^5},\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy: \(f'(1) = 6.\)

b) Ta có: \(f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Tại x=9 ta có: \(f'(9) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}.\)

Ví dụ 2: 

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x.\)

b) \(y=(x^2+1)(3-2x^2).\)

c) \(y=(x^2+3)^5.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y’ = \left( {\frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x} \right)’ = {x^2} – 4x + 3.\)

b) \(y’ = \left[ {({x^2} + 1)(3 – 2{x^2})} \right]’ = ({x^2} + 1)'(3 – 2{x^2}) + ({x^2} + 1)(3 – 2{x^2})’\)

\(= 2x(3 – 2{x^2}) – 4x({x^2} + 1) = – 8{x^3} + 2x.\)

c) \(y’ = \left[ {{{({x^2} + 3)}^5}} \right]’ = 5{({x^2} + 3)^4}({x^2} + 3)’ = 10x{({x^2} + 3)^4}.\)

Ví dụ 3: 

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{x}.\)

b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\)

c) \(y = \frac{{ – {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} – 2}}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y’ = \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{x}} \right)’ = \left( {\frac{1}{4}x} \right)’ + \left( {\frac{1}{x}} \right)’ = \frac{1}{4} – \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} – 4}}{{4{x^2}}}.\)

b) \(y’ = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)’ = \frac{{(2x + 1)'(x + 1) – (2x + 1)(x + 1)’}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)

c) \(y’ = \left( {\frac{{ – {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} – 2}}} \right)’ = \frac{{( – {x^2} + 2x + 3)'({x^3} – 2) – ( – {x^2} + 2x + 3)({x^3} – 2)’}}{{{{({x^3} – 2)}^2}}}\)

\(= \frac{{\left( { – 2x + 2} \right)({x^3} – 2) – 3{x^2}( – {x^2} + 2x + 3)}}{{{{({x^3} – 2)}^2}}} = \frac{{{x^4} – 4{x^3} – 9{x^2} + 4x – 4}}{{{{({x^3} – 2)}^2}}}.\)

Ví dụ 4: 

Tính đạo hàm của các hàm số sau: 

a) \(y = \frac{2}{x} + 5\sqrt x .\)

b) \(y = (x – 2)\sqrt {{x^2} + 1}\)

c) \(y = \frac{x}{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}\) với a là hằng số.

Hướng dẫn giải:

a) \(y’ = \left( {\frac{2}{x} + 5\sqrt x } \right)’ = \left( {\frac{2}{x}} \right)’ + \left( {5\sqrt x } \right)’ = – \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{5}{{2\sqrt x }} = \frac{{5x\sqrt x – 4}}{{2{x^2}}}.\)

b) \(y = \left[ {(x – 2)\sqrt {{x^2} + 1} } \right]’ = (x – 2)’\sqrt {{x^2} + 1} + (x – 2)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)’\)

\(= \sqrt {{x^2} + 1} + \left( {x – 2} \right)\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)’}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{x(x – 2)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2{x^2} – 2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)

c) \(y’ = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}} \right)’ = \frac{{\left( x \right)’\sqrt {{a^2} – {x^2}} – x\left( {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)’}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} – x.\frac{{\left( {{a^2} – {x^2}} \right)’}}{{2\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{{a^2}}}{{\left( {{a^2} – {x^2}} \right)\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}.\)

3. Luyện tập Bài 2 chương 5 giải tích 11

Bài 2 Quy tắc tính đạo hàm sẽ giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp và hàm hợp của chúng, các quy tắc tính đạo hàm của tổnghiệutíchthương. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm.

3.1 Trắc nghiệm về Quy tắc tính đạo hàm

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

  • Câu 1:

    Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} – \frac{7}{{{x^3}}} + \frac{6}{{{x^5}}}\) bằng biểu thức nào dưới đây?

    • A.
      \(\frac{3}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^4}}} – \frac{7}{{{x^6}}} + \frac{6}{{{x^{10}}}}\)
    • B.
      \( – \frac{3}{{{x^2}}} – \frac{2}{{{x^4}}} + \frac{7}{{{x^6}}} – \frac{6}{{{x^{10}}}}\)
    • C.
      \( – \frac{3}{{{x^2}}} – \frac{4}{{{x^3}}} + \frac{{21}}{{{x^4}}} – \frac{{30}}{{{x^6}}}\)
    • D.
      \(3 + \frac{1}{x} – \frac{7}{{3{x^2}}} + \frac{6}{{5{x^4}}}\)
  • Câu 2:

     Đạo hàm của hàm số \(y = \left( {5 – 3x} \right)\left( {\frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} – 4} \right)\) bằng biểu thức nào dưới đây?

    • A.
      -3+x2+x
    • B.
       -3(x2+x)
    • C.
       -3-x2-x
    • D.
      \( – 4{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + 5x + 12\)
  • Câu 3:

    Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{5 – 2x – 3{x^2}}}{{3x – 2}}\) bằng biểu thức nào dưới đây?

    • A.
      \(\frac{{ – 2 – 6x}}{{{{\left( {3x – 2} \right)}^2}}}\)
    • B.
      \(\frac{{ – 2 – 6x}}{3}\)
    • C.
      \(\frac{{ – 9{x^2} + 12x – 11}}{{{{\left( {3x – 2} \right)}^2}}}\)
    • D.
      \(\frac{{ – 5 – 6x}}{{{{\left( {3x – 2} \right)}^2}}}\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Quy tắc tính đạo hàm

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 5 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán THPT Long Xuyên sẽ sớm trả lời cho các em. 

Đăng bởi: THPT Số 2 Tuy Phước

Chuyên mục: Giáo Dục Lớp 11

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!