Lớp 11

Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm mới của phân môn Giải tíchGiới hạn. Ở bài học này các em sẽ được tìm hiểu về giới hạn của dãy số và các phương pháp tính được thể hiện cụ thể qua các ví dụ minh họa.

1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

a) Định nghĩa

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = 0\) .Hay là: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {u_n} = 0\) khi và chỉ khi với mọi \(\varepsilon  > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho: \(\left| {{u_n}} \right| {n_0}\).

Bạn đang xem: Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = a \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{u_n} – a} \right) = 0\), tức là: Với mọi \(\varepsilon  > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho \(\left| {{u_n} – a} \right| {n_0}\).

Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

b) Một số giới hạn đặc biệt

\( \bullet \) \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)

\( \bullet \) Nếu \(\left| q \right|

\( \bullet \) Nếu \({u_n} = c\) (với \(c\) là hằng số) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } c = c\)

Chú ý: Ta viết \(\lim {u_n} = a\) thay cho cách viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\).

1.2. Một số định lí về giới hạn

Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa \(\left| {{u_n}} \right|

Định lí 2. Cho \(\lim {u_n} = a,{\rm{ }}\lim {v_n} = b\). Ta có:

\( \bullet \)\(\lim ({u_n} + {v_n}) = a + b\)                                                                             \( \bullet \)\(\lim ({u_n} – {v_n}) = a – b\)

\( \bullet \) \(\lim ({u_n}.{v_n}) = a.b\)                      \( \bullet \) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}{\rm{ (}}b \ne 0)\)

\( \bullet \) Nếu \({u_n} \ge 0{\rm{ }}\forall n\) thì \(\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a \)

1.3. Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN \(({u_n})\) có công bội q thỏa \(\left| q \right|

\(S = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} + ….\) gọi là tổng vô hạn của CSN và

\(S = \lim {S_n} = \lim \frac{{{u_1}(1 – {q^n})}}{{1 – q}} = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}\).

1.4. Giới hạn vô cực

a) Định nghĩa

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty  \Leftrightarrow \) với mỗi số dương  tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn  số dương đó .

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  – \infty  \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( { – {u_n}} \right) =  + \infty \).

b) Một số kết quả đặc biệt

\( \bullet \)\(\lim {n^k} =  + \infty \) với mọi \(k > 0\)

\( \bullet \) \(\lim {q^n} =  + \infty \) với mọi \(q > 1\).

c) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc 1: Nếu \(\lim {u_n} =  \pm \infty \), \(\lim {v_n} =  \pm \infty \) thì \(\lim ({u_n}.{v_n})\) được cho như sau:

        \(\lim {u_n}\)

      \(\lim {v_n}\)

    \(\lim ({u_n}{v_n})\)

        \( + \infty \)

        \( + \infty \)

        \( – \infty \)

        \( – \infty \)

        \( + \infty \)

        \( – \infty \)

        \( + \infty \)

        \( – \infty \)

      \( + \infty \)

      \( – \infty \)

      \( – \infty \)

     \( + \infty \)

 
Quy tắc 2: Nếu \(\lim {u_n} =  \pm \infty \), \(\lim {v_n} = l\) thì \(\lim ({u_n}.{v_n})\) được cho như sau:
 

        \(\lim {u_n}\)

  Dấu của \(l\)

\(\lim ({u_n}{v_n})\)

\( + \infty \)

\( + \infty \)

\( – \infty \)

\( – \infty \)

\( + \)

\( – \)

\( + \)

\( – \)

\( + \infty \)

\( – \infty \)

\( – \infty \)

\( + \infty \)

 
Quy tắc 3: Nếu \(\lim {u_n} = l\),\(\lim {v_n} = 0\) và \({v_n} > 0\) hoặc \({v_n}

 

Dấu của \(l\)

Dấu của \({v_n}\)

\(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)

\( + \infty \)

\( + \infty \)

\( – \infty \)

\( – \infty \)

\( + \)

\( – \)

\( + \)

\( – \)

\( + \infty \)

\( – \infty \)

\( – \infty \)

\( + \infty \)

 

Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

Phương pháp:

Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.

\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}\) ta thường chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó \(k\) là bậc lớn nhất của tử và mẫu.

\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \left[ {\sqrt[k]{{f(n)}} – \sqrt[m]{{g(n)}}} \right]\) trong đó \(\lim f(n) = \lim g(n) =  + \infty \) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.

 

Ví dụ 1:

a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} – n + 2}}.\)

b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{{n^3} – 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}}.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(A = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {3 – \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 – \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}\).

b) \(B = \lim \frac{{{n^3} – 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}} = \lim \frac{{{n^4}\left( {\frac{1}{n} – \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}} \right)}}{{{n^4}\left( {1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}} \right)}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} – \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}}} = 0.\)

 

Ví dụ 2:

a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}.\)

b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1}  – \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} – n}}.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(A = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 – \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{{1 – \sqrt 3 }}.\)

b) Ta có: \(B = \lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}}  – \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} – 1} \right)}} = \frac{{1 – \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} – 1}}\).

 

Ví dụ 3:

Tính giá trị của \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n}  – n} \right).\)

Hướng dẫn:

Ta có  \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n}  – n} \right) = \lim \frac{{{n^2} + 6n – {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 6n}  + n}} = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n}  + n}} = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}}  + 1}} = 3.\)

\( = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n}  + n}} = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}}  + 1}} = 3\)

 

Ví dụ 4:

Tính giá trị của \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  – \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right).\)

Hướng dẫn:

Ta có: \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  – n} \right) – \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} – n} \right)\)

            \( = \lim \frac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n}  + n}} – \lim \frac{{2{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + 2{n^2})}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}}}\)

           \( = \lim \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}}  + 1}} – \lim \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{(1 + \frac{2}{n})}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{2}{n}}} + 1}} = \frac{1}{3}\).

 

Ví dụ 5:

Tìm  giới hạn sau \(C = \lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\)

Hướng dẫn:

Ta có: \(1 – \frac{1}{{{k^2}}} = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}\) nên suy ra

\(\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}…\frac{{(n – 1)(n + 1)}}{{{n^2}}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)

Do vậy \(C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}\).

3. Luyện tập Bài 1 chương 4 giải tích 11

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm mới của phân môn Giải tích lá Giới hạn. Ở bài học này các em sẽ được tìm hiểu về giới hạn của dãy số và các phương pháp tính được thể hiện cụ thể qua các ví dụ minh họa.

3.1 Trắc nghiệm về Giới hạn của dãy số

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 4 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

  • Câu 1:

    Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

    • A.
      \(\frac{1}{n}\)
    • B.
      \(\frac{1}{{\sqrt n }}\)
    • C.
      \(\frac{{n + 1}}{n}\)
    • D.
      \(\frac{{\sin n}}{{\sqrt n }}\)
  • Câu 2:

    Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

    • A.
      \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^n}\)
    • B.
      \({\left( { – \frac{4}{3}} \right)^n}\)
    • C.
      \({\left( { – \frac{5}{3}} \right)^n}\)
    • D.
      \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\)
  • Câu 3:

    Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

    • A.
      \({\left( {0,999} \right)^n}\)
    • B.
      \({\left( { – 1,01} \right)^n}\)
    • C.
      \({\left( {1,01} \right)^n}\)
    • D.
      \({\left( { – 2,001} \right)^n}\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Giới hạn của dãy số

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 4 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

4. Hỏi đáp về bài 1 chương 4 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán THPT Long Xuyên sẽ sớm trả lời cho các em. 

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.


Đăng bởi: THPT Số 2 Tuy Phước

Chuyên mục: Giáo Dục Lớp 11

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!