Lớp 10

Toán 10 Bài 3: Hàm số bậc hai

Qua bài học này, các bạn sẽ biết dạng hàm số bậc hai và phương pháp khảo sát hàm số bậc hai. Đây là dạng toán quan trọng trong chương trình toán lớp 10 và sẽ có trong nội dung ôn tập thi học kỳ và kiểm tra.

1.1. Định nghĩa

  • Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) trong đó a, b, c là các hằng số cho trước và \(a \ne 0\).
  • Tập xác định của hàm số bậc hai là R.
  • Hàm số \(y=ax^2\) (a khác 0) mà chúng ta đã học ở lớp dưới là một hàm số bậc hai có đồ thị là một Parabol.

1.2. Đồ thị hàm số bậc hai

a) Nhắc lại về đồ thị \(y=ax^2(a\ne0)\)

  • Đồ thị luôn đi qua gốc tọa độ \(O(0;0).\)
  • Parabol đối xứng nhau qua trục tung.
  • Parabol hướng lên trên khi a dương, và hướng xuống dưới khi a âm.

b) Đồ thị hàm số \(y=ax^2+bx+c(a\ne0)\)

Ta biết rằng:

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 3: Hàm số bậc hai

\(\begin{array}{l} a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + 2\frac{b}{{2x}} + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right) – \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + c\\ = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} – \frac{{{b^2} – 4ac}}{{4a}} \end{array}\)

Vì vậy, nếu đặt: \(\Delta = {b^2} – 4ac;p = – \frac{b}{{2a}};q = – \frac{\Delta }{{4a}}\)

Thì hàm số \(y=ax^2+bx+c(a\ne0)\) trở thành \(y = a{\left( {x – p} \right)^2} + q\)

Kết luận:

Đồ thị hàm số \(y=ax^2+bx+c(a\ne0)\) là một Parabol có đỉnh \(I\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\), nhận đường thẳng \(x = – \frac{b}{{2a}}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên khi a dương, bề lõm xuống dưới khi a âm.

1.3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai

  • Khi \(a>0\) hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – \frac{b}{{2a}}} \right)\), đồng biến trên khoảng \(\left( { – \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\) và có giá trị nhỏ nhất là \( – \frac{\Delta }{{4a}}\) khi \(x = – \frac{b}{{2a}}.\)
  • Khi \(a hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – \frac{b}{{2a}}} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\) và có giá trị lớn nhất là \( – \frac{\Delta }{{4a}}\) khi \(x = – \frac{b}{{2a}}.\)

Ví dụ 1:

Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết \(\left( P \right)\) đi qua \(A(2;3)\) có đỉnh \(I(1;2)\).

Hướng dẫn:

Vì \(A \in \left( P \right)\) nên \(3 = 4a + 2b + c\) (1).

Mặt khác \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I(1;2)\) nên \( – \frac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a + b = 0\) (2) và \(I \in \left( P \right)\) suy ra \(2 = a + b + c\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 3\\2a + b = 0\\a + b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  – 2\\c = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( P \right)\) cần tìm là \(y = {x^2} – 2x + 3\).

 

Ví dụ 2:

Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{3}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\) và nhận giá trị bằng \(1\) khi\(x = 1\).

Hướng dẫn:

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{3}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\) nên ta có:

\( – \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a + b = 0\) (5)\(,\,\,\frac{3}{4} = a{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + b\left( {\frac{1}{2}} \right) + c \Leftrightarrow a + 2b + 4c = 3\) (6) và \(a > 0\)

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) nhận giá trị bằng \(1\) khi\(x = 1\) nên \(a + b + c = 1\)(7)

Từ (5), (6) và (7) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a + 2b + 4c = 3\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  – 1\\c = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( P \right)\) cần tìm là \(y = {x^2} – x + 1\).

 

Ví dụ 3:

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = {x^2} + 3x + 2\)                                                                                   

b) \(y =  – {x^2} + 2\sqrt 2 x\)

Hướng dẫn:

a) Ta có \( – \frac{b}{{2a}} =  – \frac{3}{2},\,\, – \frac{\Delta }{{4a}} =  – \frac{1}{4}\)

Bảng biến thiên:

Suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 3x + 2\) có đỉnh là \(I\left( { – \frac{3}{2}; – \frac{1}{4}} \right)\), đi qua các điểm \(A\left( { – 2;0} \right),\,\,B\left( { – 1;0} \right),\,\,C\left( {0;2} \right),\,\,D\left( { – 3;2} \right)\)

Nhận đường thẳng \(x =  – \frac{3}{2}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên. 

b) Ta có \( – \frac{b}{{2a}} = \sqrt 2 ,\,\, – \frac{\Delta }{{4a}} = 2\)

Bảng biến thiên:

Suy ra đồ thị hàm số \(y =  – {x^2} + 2\sqrt 2 x\) có đỉnh là \(I\left( {\sqrt 2 ;2} \right)\), đi qua các điểm \(O\left( {0;0} \right),\,\,B\left( {2\sqrt 2 ;0} \right)\)

Nhận đường thẳng \(x = \sqrt 2 \) làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới.

3. Luyện tập Bài 3 chương 2 đại số 10

Qua bài học này, các bạn sẽ biết dạng hàm số bậc hai và phương pháp khảo sát hàm số bậc hai. Đây là dạng toán quan trọng trong chương trình toán lớp 10 và sẽ có trong nội dung ôn tập thi học kỳ và kiểm tra.

3.1 Trắc nghiệm về Hàm số bậc hai

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chương 2 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

  • Câu 1:

    Tung độ đỉnh I của parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2} – 4x + 3\) là:

    • A.
      -1
    • B.
      1
    • C.
      5
    • D.
      -5
  • Câu 2:

    Hàm số nào sau đây có giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{3}{4}\)?

    • A.
      \(y = 4{x^2}-3x{\rm{ }} + 1\)
    • B.
      \(y = – {x^2} + \frac{3}{2}x + 1\)
    • C.
      \(y = -2{x^2} + 3x + 1\)
    • D.
      \(y = {x^2} – \frac{3}{2}x + 1\)
  • Câu 3:

    Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = – {x^2} + 4x + 2\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    • A.
      y giảm trên \(\left( {2;\, + \infty } \right)\)
    • B.
      y giảm trên \(\left( { – \infty ;\,2} \right)\)
    • C.
      y tăng trên \(\left( {2;\, + \infty } \right)\)
    • D.
      y tăng trên \(\left( { – \infty ;\,2} \right)\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Hàm số bậc hai

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chương 2 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

4. Hỏi đáp về bài 3 chương 2 đại số 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán THPT Long Xuyên sẽ sớm trả lời cho các em. 

Đăng bởi: THPT Số 2 Tuy Phước

Chuyên mục: Giáo Dục Lớp 10

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!