Lớp 10

Toán 10 Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Bất phương trình là một khái niệm mà các em đã được tiếp cận từ những lớp nhỏ. Thông qua bài học này các em sẽ được ôn tập và tìm hiểu thêm một số phương pháp giải bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn.

1.1. Giải và biện luận bất phương trình dạng \(ax + b

Giải bất phương trình dạng \(ax + b

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

  • Nếu \(a = 0\) thì bất phương trình có dạng \(0.x + b

– Với \(b

– Với \(b \ge 0\) thì tập nghiệm BPT là \({\rm{S}} = \mathbb{R}\)

  • Nếu \(a > 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x
  • Nếu \(a   – \frac{b}{a}\) suy ra tập nghiệm là \(S = \left( { – \frac{b}{a}; + \infty } \right)\)

Các bất phương trình dạng \(ax + b > 0,\,\,ax + b \le 0,\,\,ax + b \ge 0\) được giải hoàn toán tương tự

1.2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình. Khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình.

DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG \(ax + b

Ví dụ:

Biện luận nghiệm của bất phương trình theo m:

a) \(mx + 6 \le 2x + 3m\)

b)  \(\left( {x + m} \right)m + x > 3x + 4\)

c) \(\left( {{m^2} + 9} \right)x + 3 \ge m\left( {1 – 6x} \right)\)

Hướng dẫn:

a) Bất phương trình tương đương với \(\left( {m – 2} \right)x

Với \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(0x \le 0\)suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).

Với \(m > 2\) bât phương trình tương đương với \(x

Với \(m \frac{{3m – 6}}{{m – 2}} = 3\)

Kết luận

\(m = 2\) bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\)(có tập nghiệm là \(S = \mathbb{R}\)).

\(m > 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x

\(m 3\)(có tập nghiệm là \(S = \left( {3; + \infty } \right)\))

b) Bất phương trình tương đương với \(\left( {m – 2} \right)x > 4 – {m^2}\)

Với \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(0x > 0\)suy ra bất phương trình vô nghiệm.

Với \(m > 2\) bât phương trình tương đương với \(x > \frac{{4 – {m^2}}}{{m – 2}} =  – m – 2\)

Với \(m

Kết luận

\(m = 2\) bất phương trình vô nghiệm

\(m > 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x >  – m – 2\)

\(m

c) Bất phương trình tương đương với \({\left( {m + 3} \right)^2}x \ge m – 3\)

Với \(m =  – 3\) bất phương trình trở thành \(0x \ge  – 6\)suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).

Với \(m \ne  – 3\) bât phương trình tương đương với \(x \ge \frac{{m – 3}}{{{{\left( {m + 3} \right)}^2}}}\)

Kết luận

\(m =  – 3\) bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).

\(m \ne  – 3\) bât phương trình có nghiệm là \(x \ge \frac{{m – 3}}{{{{\left( {m + 3} \right)}^2}}}\).

DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Ví dụ 1:

Giải các hệ bất phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}5x – 2 > 4x + 5\\5x – 4

b) \(\left\{ \begin{array}{l}6x + \frac{5}{7}

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x – 1 \le 2x – 3\\3x

Hướng dẫn:

a) Hệ bất phương trình tương đương với

\(\left\{ \begin{array}{l}5x – 2 > 4x + 5\\5x – 4 7\\x

Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.

b) Hệ bất phương trình tương đương với

\(\left\{ \begin{array}{l}6x + \frac{5}{7}

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là \(x

d) Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là  \(\frac{{11}}{5} \le x \le \frac{5}{2}\).

Ví dụ 2:

Tìm \(m\) để hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m\left( {mx – 1} \right)

Hướng dẫn:

Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2}x

Với \(m = 0\) ta có hệ bất phương trình trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0x

Với \(m \ne 0\) ta có hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x

Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\frac{{m + 2}}{{{m^2}}} > \frac{{4m + 1}}{{{m^2}}} \Leftrightarrow m

Vậy \(m

DẠNG TOÁN 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.

Ví dụ:

Cho bất phương trình  \(\sqrt {x – 1} (x – 2m + 2) \ge 0\)

a) Giải bất phương trình khi \(m = 2\)

b) Tìm \(m\) để mọi \(x \in \left[ {2;3} \right]\) đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn:

a) Khi \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(\sqrt {x – 1} (x – 2) \ge 0\)

Bất phương trình tương đương với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x – 1}  = 0}\\{\left\{ \begin{array}{l}x – 1 \ge 0\\x – 2 \ge 0\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 1}\\{x \ge 2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 2}\end{array}} \right.\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là \({\rm{S}} = \left\{ 1 \right\} \cup {\rm{[}}2; + \infty )\).

b) Bất phương trình tương đương với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x – 1}  = 0}\\{\left\{ \begin{array}{l}x – 1 \ge 0\\x – 2m + 2 \ge 0\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ge 2m – 2\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)

+ TH1: \(2m – 2 > 1 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}\): Ta có bất phương trình\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 2m – 2}\end{array}} \right.\)

Suy ra tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\} \cup [2m – 2; + \infty )\).

Do đó mọi \(x \in \left[ {2;3} \right]\) đều là nghiệm của bất phương trình (*)

\( \Leftrightarrow \left[ {2;3} \right] \subset S \Leftrightarrow 2m – 2 \le 2 \Leftrightarrow m \le 2\)

Suy ra \(\frac{3}{2}

+ TH2: \(2m – 2 = 1 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\): Ta có bất phương trình\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow x \ge 1} \right.\)

Suy ra \(m = \frac{3}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ TH3: \(2m – 2

Suy ra \(m

Vậy giá trị cần tìm là \(m \le 2\).

3. Luyện tập Bài 2 chương 4 đại số 10

Trong phạm vi bài học THPT Long Xuyên giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và phương pháp giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn 

3.1. Trắc nghiệm về bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn 

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chương 4 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

  • Câu 1:

    Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} – 8x + 7 \ge 0\). Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của S?

    • A.
      \(\left( { – \infty ;0} \right]\)
    • B.
      \(\left[ {8; + \infty } \right)\)
    • C.
      \(\left( { – \infty ; – 1} \right]\)
    • D.
      \(\left[ {6; + \infty } \right)\)
  • Câu 2:

    Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức \(f\left( x \right) = – {\rm{ }}{x^2} – x + 6\)?

    • A.
    • B.
    • C.
    • D.
  • Câu 3:

    Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} – bx + 3\). Với giá trị nào của b thì tam thức f(x)có hai nghiệm?

    • A.
      \(b \in \left[ { – 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 } \right]\)
    • B.
      \(b \in \left( { – 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 } \right)\)
    • C.
      \(b \in \left( { – \infty ; – 2\sqrt 3 } \right] \cup \left[ {2\sqrt 3 ; + \infty } \right)\)
    • D.
      \(b \in \left( { – \infty ; – 2\sqrt 3 } \right) \cup \left( {2\sqrt 3 ; + \infty } \right)\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2. Bài tập SGK và Nâng Cao về bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chương 4 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 4 đại số 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán THPT Long Xuyên sẽ sớm trả lời cho các em. 

Đăng bởi: THPT Số 2 Tuy Phước

Chuyên mục: Giáo Dục Lớp 10

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!